मान लीजिए a, b, c in R है। यदि f(x) = ax^2 + | vedclass

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Question

(B) दिया गया है $f(x) = ax^2 + bx + c$ और $a + b + c = 3$।चूंकि $f(1) = a + b + c$,इसलिए $f(1) = 3$ है।दिया गया है $f(x + y) = f(x) + f(y) + xy$।$x=0,

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$330$

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(B) दिया गया है $f(x) = ax^2 + bx + c$ और $a + b + c = 3$।चूंकि $f(1) = a + b + c$,इसलिए $f(1) = 3$ है।दिया गया है $f(x + y) = f(x) + f(y) + xy$।$x=0, y=0$ रखने पर,$f(0) = f(0) + f(0) + 0 \Rightarrow f(0) = 0$। अतः $c = 0$।अब,$f(x) = ax^2 + bx$।$f(1) = a + b = 3$।$f(x+y) = a(x+y)^2 + b(x+y) = ax^2 + ay^2 + 2axy + bx + by$ का उपयोग करने पर।साथ ही $f(x) + f(y) + xy = ax^2 + bx + ay^2 + by + xy$।$xy$ के गुणांकों की तुलना करने पर,$2a = 1 \Rightarrow a = 1/2$।चूंकि $a + b = 3$,इसलिए $b = 3 - 1/2 = 5/2$।अतः,$f(n) = \frac{1}{2}n^2 + \frac{5}{2}n = \frac{n^2 + 5n}{2}$।हमें $\sum_{n=1}^{10} f(n) = \sum_{n=1}^{10} \frac{n^2 + 5n}{2} = \frac{1}{2} [\sum_{n=1}^{10} n^2 + 5 \sum_{n=1}^{10} n]$ ज्ञात करना है।योग के सूत्रों का उपयोग करने पर: $\sum n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ और $\sum n = \frac{n(n+1)}{2}$।$n=10$ के लिए: $\sum n^2 = \frac{10 	imes 11 	imes 21}{6} = 385$ और $\sum n = \frac{10 	imes 11}{2} = 55$।योग $= \frac{1}{2} [385 + 5(55)] = \frac{1}{2} [385 + 275] = \frac{660}{2} = 330$।

मान लीजिए $a, b, c \in R$ है। यदि $f(x) = ax^2 + bx + c$ इस प्रकार है कि $a + b + c = 3$ और $f(x + y) = f(x) + f(y) + xy$ सभी $x, y \in R$ के लिए,तो $\sum_{n=1}^{10} f(n)$ का मान ज्ञात कीजिए:

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